arccos(x) के लिए कोण डिग्री और रेडियन में निकालें
arccos के सामान्य मान
| x | arccos(x) डिग्री में | arccos(x) रेडियन में |
|---|---|---|
| 1 | 0° | 0 |
| √3∕2 ≈ 0.8660 | 30° | π/6 |
| √2∕2 ≈ 0.7071 | 45° | π/4 |
| 0.5 | 60° | π/3 |
| 0 | 90° | π/2 |
| −0.5 | 120° | 2π/3 |
| −√2∕2 ≈ −0.7071 | 135° | 3π/4 |
| −√3∕2 ≈ −0.8660 | 150° | 5π/6 |
| −1 | 180° | π |
arccos का कोज्या और arcsin से संबंध
कोज्या का प्रतिलोम। यदि cos(θ) = x, तो arccos(x) = θ। परंतु कोज्या फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर एक-से-एक नहीं है — इसलिए arccos केवल मुख्य मान लौटाता है, अर्थात् [0, π] (यानी [0°, 180°]) में स्थित अद्वितीय कोण।
पूरक सर्वसमिका। arccos और arcsin समीकरण arccos(x) = π/2 − arcsin(x) से जुड़े हैं। उदाहरण: arcsin(0.5) = 30°, अतः arccos(0.5) = 90° − 30° = 60°।
परिसर [0, π] क्यों? कोण को [0, π] तक सीमित करने से arccos एक सही फलन बनता है — [−1, 1] में प्रत्येक x ठीक एक कोण से मिलता है। इस सीमा के बाहर कोज्या मान दोहराता है और प्रतिलोम अस्पष्ट हो जाता।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
arccos क्या है और इसका उपयोग कब होता है?
Arccos (जिसे acos या cos−1 भी लिखते हैं, हिंदी में प्रति-कोज्या) कोज्या फलन का प्रतिलोम है। −1 और 1 के बीच के अनुपात x के लिए यह वह कोण θ लौटाता है जिसकी कोज्या x के बराबर है। यह तब उपयोगी है जब समकोण त्रिभुज में आपको आधार और कर्ण ज्ञात हों (x = आधार ÷ कर्ण) और उनके बीच का कोण निकालना हो। सदिश ज्यामिति में दो सदिशों के बिंदु-गुणनफल से कोण निकालने में, और भौतिकी की प्रक्षेपण समस्याओं में भी इसका प्रयोग होता है। CBSE/ICSE कक्षा 11–12 के पाठ्यक्रम में यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अध्याय में आता है।
arccos का परिभाषा डोमेन और परिसर क्या है?
परिभाषा डोमेन x ∈ [−1, 1] है — किसी भी वास्तविक कोण की कोज्या इसी अंतराल के भीतर रहती है, इसलिए इस सीमा के बाहर के मानों का वास्तविक arccos परिभाषित नहीं है। परिसर [0, π] रेडियन है, जो [0°, 180°] के बराबर है। इसे मुख्य शाखा कहते हैं: हर मान्य निवेश के लिए ठीक एक निर्गत कोण इसी परिसर में मिलता है।
arccos और arcsin में क्या संबंध है?
दोनों पूरक हैं: [−1, 1] में हर x के लिए arccos(x) + arcsin(x) = π/2 (यानी 90°)। अतः arccos(x) = π/2 − arcsin(x)। उदाहरण: arcsin(0.7071) ≈ 45°, इसलिए arccos(0.7071) ≈ 45°; arcsin(0) = 0°, अतः arccos(0) = 90°। यह सर्वसमिका सह-फलन नियम cos(θ) = sin(π/2 − θ) का सीधा परिणाम है। कक्षा 12 NCERT अध्याय 2 में यह सर्वसमिका विस्तार से समझाई गई है।
क्या arccos(x) ऋणात्मक हो सकता है?
नहीं। परिभाषा के अनुसार arccos केवल [0, π] में मान लौटाता है, इसलिए निर्गत हमेशा 0° और 180° के बीच होता है — कभी ऋणात्मक नहीं। यदि आप किसी ऋणात्मक संख्या जैसे arccos(−0.5) की गणना करें तो परिणाम 120° मिलता है, जो अब भी धनात्मक है। यह arcsin से अलग है, जिसका परिसर [−90°, 90°] होता है और जो ऋणात्मक हो सकता है। sin का प्रतिलोम और cos का प्रतिलोम — दोनों के परिसर इसी कारण भिन्न हैं।
यदि x, [−1, 1] के बाहर हो तो क्या होगा?
कैलकुलेटर “अपरिभाषित” दिखाता है। वास्तविक संख्याओं में कोज्या कभी 1 से अधिक या −1 से कम मान नहीं देती, इसलिए arccos(1.5) या arccos(−2) का कोई वास्तविक उत्तर नहीं है। ऐसे निवेश आम तौर पर सेटअप त्रुटि का संकेत हैं — उदाहरण के लिए, यदि आधार/कर्ण का अनुपात 1 से बड़ा निकले तो त्रिभुज की भुजाएँ असंगत हैं। (सम्मिश्र-मान विस्तार होते हैं, परंतु वे इस उपकरण के दायरे से बाहर हैं।)
परिणाम को डिग्री और रेडियन में कैसे बदलें?
रेडियन को 180/π ≈ 57.2958 से गुणा करने पर डिग्री मिलते हैं; डिग्री को π/180 ≈ 0.017453 से गुणा करने पर रेडियन मिलते हैं। उदाहरण: arccos(0.5) = 60° = 60 × π/180 = π/3 ≈ 1.04719755 rad। ऊपर का टॉगल मुख्य परिणाम तुरंत बदल देता है, और सहायक पैनल हमेशा दोनों इकाइयाँ दिखाता है।
यह आर्ककोसाइन कैलकुलेटर −1 से 1 के बीच किसी भी मान x के लिए प्रति-कोज्या (cos⁻¹) की गणना करता है और परिणाम डिग्री व रेडियन दोनों में दिखाता है। उपयोग सरल है — मान x दर्ज करें, इकाई (डिग्री या रेडियन) चुनें, और कैलकुलेटर तुरंत कोण θ = arccos(x) दिखाएगा, जो परिसर [0°, 180°] या [0, π] में होता है। उदाहरण: arccos(0.5) = 60° = π/3 रेडियन; arccos(√2⁄2) = 45° = π/4 रेडियन; arccos(0) = 90° = π/2। यह सहायक पैनल में दोनों इकाइयाँ साथ दिखाता है, π के अंशों (π/6, π/4, π/3, π/2) को स्वतः पहचानता है और सामान्य मानों की क्लिक-करने योग्य तालिका प्रदान करता है। समकोण त्रिभुज में आधार और कर्ण से कोण निकालने, सदिश ज्यामिति में बिंदु-गुणनफल से कोण ज्ञात करने तथा CBSE/ICSE कक्षा 11–12 के प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन अध्याय में अभ्यास के लिए उपयोगी।