−1 से 1 तक के मान से कोण (डिग्री/रेडियन) ज्ञात करें — व्युत्क्रम ज्या फलन sin⁻¹(x)।
सामान्य मान
| x | arcsin(x) डिग्री में | arcsin(x) रेडियन में |
|---|---|---|
| −1 | −90° | −π/2 |
| −√3/2 ≈ −0.8660 | −60° | −π/3 |
| −√2/2 ≈ −0.7071 | −45° | −π/4 |
| −0.5 | −30° | −π/6 |
| 0 | 0° | 0 |
| 0.5 | 30° | π/6 |
| √2/2 ≈ 0.7071 | 45° | π/4 |
| √3/2 ≈ 0.8660 | 60° | π/3 |
| 1 | 90° | π/2 |
परिभाषा और गुण
प्रति-ज्या फलन, जिसे arcsin(x) या sin⁻¹(x) लिखा जाता है, ज्या (sine) फलन का व्युत्क्रम है। अंतराल [−1, 1] में दिए गए मान x के लिए, arcsin(x) [−π/2, π/2] (समतुल्य रूप से [−90°, 90°]) में वह अद्वितीय कोण θ लौटाता है जिसके लिए sin(θ) = x। चूँकि ज्या फलन आवर्ती है और हर 360° पर दोहराता है, इसलिए व्युत्क्रम को एक-मानीय आउटपुट देने के लिए सीमित परिसर की आवश्यकता होती है — इस सीमित परिसर को मुख्य मान कहा जाता है। प्रति-ज्या एक विषम फलन है: arcsin(−x) = −arcsin(x)। पूरक सर्वसमिका arcsin(x) + arccos(x) = π/2 डोमेन के सभी x के लिए लागू है। अवकलज: d/dx arcsin(x) = 1/√(1 − x²)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
arcsin क्या है और यह sin से कैसे भिन्न है?
ज्या (sine) कोण लेकर −1 और 1 के बीच एक अनुपात लौटाती है (समकोण त्रिभुज में सम्मुख भुजा / कर्ण)। प्रति-ज्या (arcsin) इसके विपरीत करती है: आप एक अनुपात देते हैं और यह कोण लौटाती है। उदाहरण के लिए, sin(30°) = 0.5, अतः arcsin(0.5) = 30°। कैलकुलेटर पर arcsin को अक्सर sin⁻¹ लिखा जाता है — यह घातांक नहीं है, बल्कि व्युत्क्रम फलन को दर्शाता है। हिंदी गणित में इसे "प्रति-ज्या" भी कहा जाता है।
x का मान −1 और 1 के बीच ही क्यों होना चाहिए?
किसी भी वास्तविक कोण की ज्या हमेशा −1 और 1 के बीच (समावेशी) होती है — यही उसका सम्पूर्ण परिसर है। अतः केवल [−1, 1] के मान ही किसी वास्तविक कोण के अनुरूप हैं। यदि x इस अंतराल के बाहर है (जैसे x = 2 या x = −1.5), तो ऐसा कोई वास्तविक कोण नहीं जिसकी ज्या x के बराबर हो, और उत्तर वास्तविक संख्याओं में अपरिभाषित है। |x| > 1 के लिए arcsin गणना करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता होती है, जो इस कैलकुलेटर के दायरे से बाहर है। ऐसे इनपुट पर कैलकुलेटर त्रुटि संदेश दिखाता है।
arcsin केवल −90° और 90° के बीच मान क्यों लौटाता है?
क्योंकि sin(θ) हर 360° पर दोहराती है और सममित है, अनंत कोण समान ज्या मान साझा करते हैं। arcsin को उचित फलन (एक इनपुट पर एक आउटपुट) बनाने के लिए, गणितज्ञ इसके आउटपुट को मुख्य शाखा [−π/2, π/2], अर्थात् [−90°, 90°] तक सीमित करते हैं। यदि आपको हर वह कोण चाहिए जिसकी ज्या x है, तो उपयोग करें: θ = arcsin(x) + 360°·k और θ = 180° − arcsin(x) + 360°·k, जहाँ k कोई पूर्णांक है।
arcsin का व्यावहारिक उपयोग कहाँ होता है?
प्रति-ज्या तब काम आती है जब आप अनुपात जानते हैं और कोण ज्ञात करना चाहते हैं। सामान्य उपयोग:
- समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति: कोण = arcsin(सम्मुख / कर्ण)। 3 मीटर लंबा रैम्प जो 1.5 मीटर ऊँचा उठता है, उसका कोण arcsin(1.5/3) = 30° होता है।
- भौतिकी: अपवर्तन के लिए स्नेल का नियम, आपतन कोण समस्याएँ, प्रक्षेप्य प्रक्षेपण कोण।
- सर्वेक्षण और दिशासंकेत: ऊँचाई, दिशा और अक्षांश गणनाएँ।
- अभियांत्रिकी और सिग्नल प्रसंस्करण: AC परिपथों में कला कोण और दोलन।
- सांख्यिकी: अनुपातों के लिए arcsine प्रसरण-स्थिरीकरण रूपांतरण।
- CBSE/ICSE कक्षा 11–12 गणित: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन अध्याय में नियमित प्रश्न।
परिणाम को डिग्री और रेडियन के बीच कैसे बदलें?
तुरंत स्विच करने के लिए ऊपर दिए गए टॉगल का उपयोग करें। मैन्युअल रूप से: रेडियन = डिग्री × π/180, और डिग्री = रेडियन × 180/π। त्वरित संदर्भ: 180° = π rad ≈ 3.14159, 90° = π/2 rad ≈ 1.57080, 60° = π/3 rad ≈ 1.04720, 45° = π/4 rad ≈ 0.78540, 30° = π/6 rad ≈ 0.52360। कलन, भौतिकी और प्रोग्रामिंग में रेडियन मानक हैं (JavaScript का Math.asin रेडियन लौटाता है)।
arcsin और arccos के बीच क्या संबंध है?
ये पूरक हैं: हर x ∈ [−1, 1] के लिए arcsin(x) + arccos(x) = π/2 = 90°। अतः यदि arcsin(0.5) = 30°, तो arccos(0.5) = 60°। यह इस तथ्य को दर्शाता है कि समकोण त्रिभुज में दो गैर-समकोण कोणों का योग 90° होता है। प्रति-ज्या एक विषम फलन है (मूल बिंदु के बारे में सममित), जबकि प्रति-कोज्या न तो विषम है और न ही सम।
यह प्रति-ज्या कैलकुलेटर (arcsin / sin⁻¹) −1 और 1 के बीच दिए गए किसी भी मान x के लिए वह कोण लौटाता है जिसकी ज्या x के बराबर है। परिणाम डिग्री और रेडियन दोनों में मिलता है, साथ ही जहाँ संभव हो वहाँ π की भिन्न के रूप में सटीक मान (जैसे π/6, π/4, π/3) भी दिखाया जाता है। उपयोग सरल है: इनपुट फ़ील्ड में x का मान दर्ज करें या सामान्य मानों के लिए तैयार बटन (−1, −√3/2, −√2/2, −0.5, 0, 0.5, √2/2, √3/2, 1) पर क्लिक करें, फिर डिग्री या रेडियन इकाई चुनें। उदाहरण: arcsin(0.5) = 30° = π/6 रेडियन; arcsin(√2/2) = 45° = π/4; arcsin(1) = 90° = π/2। परिभाषा डोमेन x ∈ [−1, 1] है और परिसर [−90°, 90°] अर्थात् [−π/2, π/2]। कैलकुलेटर समकोण त्रिभुज समस्याओं, भौतिकी (स्नेल का नियम, प्रक्षेप्य कोण), सर्वेक्षण और CBSE/ICSE कक्षा 11–12 के व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन अध्याय के लिए उपयोगी है।