आर्कटैन्जेंट कैलकुलेटर — arctan (tan⁻¹)

आर्कटैन्जेंट (arctan, atan, tan⁻¹, प्रति-स्पर्शज्या) स्पर्शज्या (tangent) फलन का प्रतिलोम है। चूंकि tan आवर्ती है, इसलिए प्रतिलोम को एकल-मानीय बनाने के लिए परिणाम को मुख्य शाखा (−π/2, π/2) रेडियन यानी (−90°, 90°) तक सीमित किया जाता है। किसी भी वास्तविक x के लिए arctan(x) उस अद्वितीय कोण θ को लौटाता है जिसके लिए tan(θ) = x। सीमा ±90° तक स्पर्शोन्मुखी रूप से पहुंचती है पर कभी पहुंच नहीं पाती, क्योंकि tan(±90°) अपरिभाषित है।

एक-तर्क वाला arctan केवल कोण को 180° मॉड्यूलो ही बताता है, इसलिए चतुर्थांश का अंतर नहीं कर सकता। atan2(y, x) दोनों निर्देशांकों को लेकर (−π, π] में कोण देता है जो बिंदु (x, y) के पूर्ण चतुर्थांश को पहचानता है। उदाहरण: arctan(1/1) और arctan(−1/−1) दोनों 45° देते हैं, परंतु atan2(1, 1) = 45° जबकि atan2(−1, −1) = −135°। कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांक रूपांतरण में हमेशा atan2 का उपयोग करें।

arctan(x) उस कोण को लौटाता है जिसका स्पर्शज्या x के बराबर है। यदि tan(θ) = x, तो arctan(x) = θ (मुख्य परिसर −90° से 90° के भीतर)। उदाहरण: arctan(1) = 45° क्योंकि tan(45°) = 1। कैलकुलेटर पर इसे atan(x) या tan⁻¹(x) भी लिखा जाता है। यह हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है, चाहे बहुत बड़ी हो या बहुत ऋणात्मक।

tan कोण को अनुपात (समकोण त्रिभुज में सम्मुख ÷ संलग्न) में बदलता है। arctan विपरीत दिशा में काम करता है: अनुपात देकर कोण निकालता है। tan कोण लेकर कोई भी वास्तविक संख्या दे सकता है (इसके ±90°, ±270° आदि पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होते हैं)। arctan कोई भी वास्तविक संख्या लेकर हमेशा −90° और 90° के बीच का कोण देता है। मुख्य शाखा पर वे प्रतिलोम हैं: arctan(tan(θ)) = θ केवल तभी जब −90° < θ < 90°।

क्योंकि tan 180° के आवर्तकाल वाला है, असंख्य कोणों का स्पर्शज्या समान होता है (जैसे tan(45°) = tan(225°) = 1)। arctan को फलन (एक इनपुट के लिए एक आउटपुट) बनाने हेतु गणितज्ञ परिणाम को tan की एक एकदिष्ट शाखा तक सीमित करते हैं: (−90°, 90°) वाली शाखा। यह शाखा हर वास्तविक अनुपात को ठीक एक बार ढकती है। यदि किसी दिए गए स्पर्शज्या वाले सभी कोण चाहिए, तो मुख्य मान में 180° × k (k कोई पूर्णांक) जोड़ें। CBSE/ICSE कक्षा 11-12 में यह मुख्य मान शाखा अनिवार्य है।

समकोण त्रिभुज में जिसकी भुजाएं a (सम्मुख) और b (संलग्न) हों, आधार पर न्यूनकोण arctan(a / b) के बराबर होता है। दो भुजाएं ज्ञात होने पर कोण निकालने का यह मूल साधन है। उदाहरण: 5 मीटर क्षैतिज दूरी पर 3 मीटर की चढ़ाई वाली छत का ढाल कोण arctan(3 / 5) ≈ 30.96° है। सर्वेक्षण में, क्षैतिज दूरी d पर ऊंचाई h के टावर का उन्नयन कोण arctan(h / d) है। रोबोटिक्स और कंप्यूटर ग्राफिक्स में arctan (atan2 के माध्यम से) (x, y) स्थिति को दिशा कोण में बदलता है।

ये CBSE/ICSE कक्षा 11-12 के मानक प्रश्नों में बार-बार आते हैं: arctan(0) = 0° = 0 rad, arctan(1/√3) = 30° = π/6 rad, arctan(1) = 45° = π/4 rad, arctan(√3) = 60° = π/3 rad। ये सूत्र मानक त्रिकोणमितीय सारणी से सीधे आते हैं क्योंकि tan(0°) = 0, tan(30°) = 1/√3, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3। इन्हें याद रखना प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की समस्याओं को तेजी से हल करने में मदद करता है।

जैसे-जैसे x असीमित बढ़ता है, arctan(x) 90° (π/2 rad) के निकट पहुंचता है पर कभी पहुंच नहीं पाता। उदाहरण: arctan(10) ≈ 84.2894°, arctan(100) ≈ 89.4271°, arctan(1000) ≈ 89.9427°। सममित रूप से, arctan(−x) = −arctan(x), इसलिए arctan(−1000) ≈ −89.9427°। सीमाएं lim x→+∞ arctan(x) = π/2 और lim x→−∞ arctan(x) = −π/2 arctan को परिबद्ध फलन बनाती हैं — संकेत प्रसंस्करण और तंत्रिका जालिकाओं में असीमित इनपुट को परिमित परिसर में दबाने हेतु उपयोगी।

कैलकुलेटर JavaScript के अंतर्निहित Math.atan का उपयोग करता है, जो IEEE 754 दोहरी परिशुद्धता फ्लोटिंग पॉइंट (लगभग 15-17 सार्थक दशमलव अंक) पर आधारित है। परिणाम 8 दशमलव स्थानों तक दिखाए जाते हैं। अभियांत्रिकी या शैक्षणिक उद्देश्यों के लिए यह पर्याप्त से अधिक है। प्रतीकात्मक परिणामों के लिए — जैसे arctan(1) = π/4 को सटीक पहचानना — कैलकुलेटर π के सामान्य भिन्नों (π/6, π/4, π/3 आदि) को छोटी सहनशीलता में मिलाता है और उन्हें लेबल करता है।