कोज्या (cos) कैलकुलेटर

समकोण त्रिभुज में किसी न्यूनकोण θ की कोज्या (cosine) θ से सटे आधार की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होती है: cos(θ) = आधार / कर्ण। उदाहरण के लिए 3-4-5 समकोण त्रिभुज में, यदि लंबाई 4 वाली भुजा के सम्मुख कोण θ है, तो आधार 3 और कर्ण 5 होगा, अतः cos(θ) = 3/5 = 0.6, जो लगभग θ ≈ 53.13° के बराबर है।

एकक वृत्त (मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त) पर धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त दिशा में मापे गए कोण θ पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं। अर्थात cos(θ) ही उस बिंदु का x-निर्देशांक है। यह परिभाषा किसी भी वास्तविक कोण के लिए, ऋणात्मक तथा 360° से बड़े कोणों के लिए भी, मान्य है। cos(−θ) = cos(θ) क्योंकि किसी बिंदु को x-अक्ष पर परावर्तित करने से उसका x-निर्देशांक नहीं बदलता — कोज्या एक सम फलन (even function) है।

कोज्या तरंग प्रत्येक वास्तविक मान के लिए −1 और +1 के बीच दोलन करती है: −1 ≤ cos(θ) ≤ 1। यह फलन आवर्ती है जिसका आवर्तकाल 2π (या 360°) है, अर्थात cos(θ + 360°) = cos(θ)। इसका अधिकतम मान 1, θ = 0°, 360°, 720°, … पर मिलता है, और न्यूनतम मान −1, θ = 180°, 540°, … पर। शून्य मान 90° के विषम गुणजों पर आते हैं: 90°, 270°, 450°, …

ये पाँच विशेष कोण CBSE/ICSE की कक्षा 10–11 की त्रिकोणमिति में सबसे अधिक उपयोग होते हैं: cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866, cos(45°) = √2/2 = 1/√2 ≈ 0.707, cos(60°) = 1/2 = 0.5, और cos(90°) = 0। याद रखने का आसान क्रम: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0 — कोण बढ़ने पर मान घटता जाता है।

cos(90°) = 0 बिल्कुल सटीक है। एकक वृत्त पर 90° पर बिंदु (0, 1) पर होता है — मूल बिंदु से ठीक ऊपर — इसलिए x-निर्देशांक, जो cos(θ) के बराबर है, शून्य होता है। समकोण त्रिभुज में दोनों न्यूनकोणों का योग 90° होता है, अतः 90° पर आधार की लंबाई शून्य हो जाती है। इसी प्रकार cos(270°) = 0 भी होता है। cos का मान शून्य 90° के सभी विषम गुणजों पर आता है।

हाँ। कोज्या ऋणात्मक तब होती है जब कोण द्वितीय या तृतीय चतुर्थांश में हो — लगभग 90° < θ < 270° (mod 360°)। उदाहरण के लिए cos(120°) = −1/2, cos(150°) = −√3/2, और cos(180°) = −1। इसका न्यूनतम मान −1 है जो 180°, 540° आदि पर मिलता है। इसका अधिकतम मान +1, 0°, 360°, 720° आदि पर मिलता है। संक्षेप में cos(θ) हमेशा −1 और +1 के बीच रहता है।

ज्या (sin) और कोज्या (cos) सहफलन (co-functions) हैं: sin(θ) = cos(90° − θ)। संस्कृत में sin को «ज्या» और cos को «कोज्या» या «कोटि-ज्या» कहते हैं — «कोटि» का अर्थ है पूरक कोण। एकक वृत्त पर sin(θ) y-निर्देशांक और cos(θ) x-निर्देशांक है। दोनों −1 और +1 के बीच, 360° आवर्तकाल से दोलन करते हैं, परंतु cos(0°) = 1 जबकि sin(0°) = 0। कोज्या तरंग, ज्या तरंग को बायीं ओर 90° खिसकाने पर मिलती है।

एक रेडियन वह कोण है जो वृत्त के केंद्र पर त्रिज्या के बराबर लंबाई के चाप द्वारा बनाया जाता है। पूर्ण घूर्णन = 2π रेडियन = 360°, अतः 1 rad ≈ 57.2957795°। रूपांतरण सूत्र: रेडियन = डिग्री × π/180, और डिग्री = रेडियन × 180/π। उदाहरण: 60° = π/3 rad ≈ 1.04719755 rad, 90° = π/2 rad, 180° = π rad। ऊपर «रेडियन» टैब चुनकर सीधे रेडियन में कोण दर्ज कर सकते हैं।

कोज्या का प्रयोग हर उस स्थान पर होता है जहाँ आवर्ती या घूर्णन गति होती है: गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए कोज्या नियम (Law of Cosines), संकेतों और छवियों का फूरियर विश्लेषण, AC विद्युत परिपथ, प्रक्षेप्य गति (projectile motion), सदिशों का अदिश गुणनफल (a·b = |a||b|cos θ), कंप्यूटर ग्राफिक्स के रोटेशन मैट्रिक्स, सर्वेक्षण और खगोलशास्त्र। इंजीनियर बल या वेग के क्षैतिज घटक की गणना के लिए cos का प्रयोग करते हैं।