कोण से cot(θ) की गणना — डिग्री और रेडियन, विशेष कोणों की तालिका।
सामान्य कोस्पर्शज्या मान
| कोण | रेडियन | cot(θ) | दशमलव |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | अपरिभाषित | — |
| 30° | π/6 | √3 | 1.73205081 |
| 45° | π/4 | 1 | 1.00000000 |
| 60° | π/3 | √3/3 | 0.57735027 |
| 90° | π/2 | 0 | 0.00000000 |
| 120° | 2π/3 | −√3/3 | −0.57735027 |
| 135° | 3π/4 | −1 | −1.00000000 |
| 150° | 5π/6 | −√3 | −1.73205081 |
| 180° | π | अपरिभाषित | — |
| 270° | 3π/2 | 0 | 0.00000000 |
कोस्पर्शज्या की गणना कैसे होती है?
किसी कोण θ की कोस्पर्शज्या (cotangent) कोज्या और ज्या का अनुपात है: cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)। समानार्थक रूप में, यह स्पर्शज्या (tangent) का व्युत्क्रम है: cot(θ) = 1 / tan(θ)। समकोण त्रिभुज में, cot(θ) आसन्न भुजा (adjacent) की लंबाई को सम्मुख भुजा (opposite) की लंबाई से विभाजित करने के बराबर है — यानी tan का व्युत्क्रम (आसन्न / सम्मुख)।
जब भी sin(θ) = 0 हो, कोस्पर्शज्या अपरिभाषित होती है। यह θ = 0°, 180°, 360° पर तथा 180° (या रेडियन में π) के हर पूर्णांक गुणज पर होता है। उन बिंदुओं पर cos/sin अनुपात शून्य से विभाजन हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कोस्पर्शज्या (cotangent) क्या है?
कोस्पर्शज्या (हिंदी में «कोस्पर्शज्या», संक्षेप में cot या ctg) छह त्रिकोणमितीय फलनों में से एक है। इसे cos(θ) को sin(θ) से विभाजित करने के रूप में, या समानार्थक रूप में 1 को tan(θ) से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है। समकोण त्रिभुज में, cot(θ) आसन्न भुजा की लंबाई को सम्मुख भुजा की लंबाई से विभाजित करने के बराबर है। यह फलन 180° (π रेडियन) के आवर्त के साथ आवर्ती है और प्रत्येक आवर्त पर −∞ से +∞ तक प्रत्येक वास्तविक मान लेता है। CBSE/ICSE कक्षा 10–11 के पाठ्यक्रम में यह त्रिकोणमिति अध्याय का मूल भाग है।
cot और tan में क्या अंतर है?
स्पर्शज्या (tangent) और कोस्पर्शज्या (cotangent) व्युत्क्रम फलन हैं: cot(θ) = 1 / tan(θ)। जहाँ tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) (सम्मुख ÷ आसन्न), वहीं cot(θ) = cos(θ)/sin(θ) (आसन्न ÷ सम्मुख)। tan वहाँ अपरिभाषित होता है जहाँ cos(θ) = 0 (90°, 270°, …), जबकि cot वहाँ अपरिभाषित होता है जहाँ sin(θ) = 0 (0°, 180°, 360°, …)। इनके ग्राफ एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हैं और उनके अनंतस्पर्शी (asymptotes) 90° से स्थानांतरित हैं।
cot(0°) और cot(180°) अपरिभाषित क्यों हैं?
θ = 0° और θ = 180° पर ज्या (sine) शून्य के बराबर होती है (sin 0° = 0, sin 180° = 0)। चूँकि cot(θ) = cos(θ)/sin(θ), अनुपात cos(θ)/0 हो जाता है, जो शून्य से विभाजन है और इसलिए अपरिभाषित है। कोस्पर्शज्या ग्राफ में 180° के हर पूर्णांक गुणज पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) होते हैं। π के हर गुणज (kπ, k पूर्णांक) पर cot अपरिभाषित रहता है। एक तरफ से उन बिंदुओं के निकट पहुँचने पर फलन +∞ की ओर जाता है, और दूसरी तरफ से −∞ की ओर।
सामान्य कोणों पर कोस्पर्शज्या के मान क्या हैं?
मानक संदर्भ मान हैं: cot(0°) = अपरिभाषित, cot(30°) = √3 ≈ 1.73205081, cot(45°) = 1, cot(60°) = √3/3 ≈ 0.57735027, cot(90°) = 0। दूसरे चतुर्थांश के लिए: cot(120°) = −√3/3, cot(135°) = −1, cot(150°) = −√3। फलन पहले और तीसरे चतुर्थांश में धनात्मक होता है, दूसरे और चौथे में ऋणात्मक, और हर 180° पर दोहराता है। ये मान CBSE/ICSE कक्षा 10–11 की त्रिकोणमिति में याद रखने योग्य महत्वपूर्ण मान हैं।
cot का उपयोग करने से पहले डिग्री को रेडियन में कैसे बदलें?
डिग्री मान को π/180 से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 45° × π/180 = π/4 ≈ 0.7854 रेडियन। अधिकांश वैज्ञानिक कैलकुलेटर और प्रोग्रामिंग भाषाएँ त्रिकोणमितीय फलनों की गणना रेडियन में करती हैं, इसलिए जब आपका इनपुट डिग्री में हो तो यह रूपांतरण आवश्यक है। यह कैलकुलेटर डिग्री इकाई चुनने पर रूपांतरण स्वचालित रूप से कर देता है।
cot और tan के बीच का संबंध क्या है?
cot और tan एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं: cot(θ) × tan(θ) = 1। इसलिए यदि tan(θ) ज्ञात हो, तो cot(θ) = 1 / tan(θ) से तुरंत प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण: tan(45°) = 1, अतः cot(45°) = 1/1 = 1। tan(60°) = √3, अतः cot(60°) = 1/√3 = √3/3। यह संबंध CBSE/ICSE पाठ्यक्रम में बार-बार पूछा जाता है और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (identities) को सरल बनाने में सहायक है।
यह कैलकुलेटर किसी भी कोण θ के लिए कोस्पर्शज्या cot(θ) की गणना करता है। सूत्र: cot(θ) = cos(θ) / sin(θ) = 1 / tan(θ)। आप कोण को डिग्री या रेडियन में दर्ज कर सकते हैं — टैब से इकाई बदलें। प्रीसेट बटन से सामान्य कोण (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270°) तुरंत भर जाते हैं। उदाहरण: cot(45°) = cos 45° / sin 45° = 0.7071 / 0.7071 = 1। दूसरा उदाहरण: cot(60°) = cos 60° / sin 60° = 0.5 / 0.8660 = 0.5774 = √3/3। ध्यान दें: जहाँ sin(θ) = 0 हो (अर्थात θ = 0°, 180°, 360°, या रेडियन में kπ), वहाँ cot अपरिभाषित होता है क्योंकि शून्य से विभाजन संभव नहीं। परिणाम कार्ड में cot, tan और यथार्थ रूप (√3, √3/3, −1 आदि) तीनों दिखते हैं। CBSE/ICSE कक्षा 10–11 के त्रिकोणमिति अध्याय और इंजीनियरिंग गणनाओं के लिए उपयोगी।