किसी भी कोण θ के लिए sin(θ) निकालें — डिग्री या रेडियन में, विशेष कोण तालिका और सटीक मान सहित।
विशेष कोण तालिका
| कोण | रेडियन | sin(θ) | दशमलव |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.00000000 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 0.50000000 |
| 45° | π/4 | √2/2 | 0.70710678 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 0.86602540 |
| 90° | π/2 | 1 | 1.00000000 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | 0.86602540 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | 0.70710678 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | 0.50000000 |
| 180° | π | 0 | 0.00000000 |
| 270° | 3π/2 | −1 | −1.00000000 |
| 360° | 2π | 0 | 0.00000000 |
परिभाषा और इकाई वृत्त
समकोण त्रिभुज परिभाषा। समकोण त्रिभुज में किसी न्यूनकोण θ की ज्या (sine) सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात होती है: sin(θ) = सम्मुख ÷ कर्ण।
इकाई वृत्त परिभाषा। मूलबिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त खींचें। धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त दिशा में कोण θ नापें। टर्मिनल भुजा वृत्त को जिस बिंदु पर मिलती है उसके निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं। इसलिए sin(θ) केवल y-निर्देशांक है — हर वास्तविक कोण के लिए परिभाषित, धनात्मक हो या ऋणात्मक।
परिसर और आवर्तकाल। ज्या तरंग −1 और 1 के बीच दोलन करती है, अर्थात् हर θ के लिए −1 ≤ sin(θ) ≤ 1। यह 360° (2π रेडियन) पर पुनरावृत्त होती है: sin(θ + 360°) = sin(θ)। यह विषम फलन है: sin(−θ) = −sin(θ)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
sin(0°), sin(30°), sin(45°), sin(60°), sin(90°) के मान क्या हैं?
ये CBSE और ICSE की कक्षा 10–11 की त्रिकोणमिति में कंठस्थ किए जाने वाले मानक मान हैं: sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2 ≈ 0.7071, sin(60°) = √3/2 ≈ 0.8660, sin(90°) = 1। एक स्मरण-तकनीक: मानों को √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 के रूप में लिखें — हर मान का अंश 0, 1, 2, 3, 4 के क्रम में बढ़ता है।
ज्या (sine) और कोज्या (cosine) में क्या अंतर है?
समकोण त्रिभुज में ज्या (sine) कोण की सम्मुख भुजा को कर्ण से विभाजित करती है, जबकि कोज्या (cosine) निकटवर्ती भुजा को कर्ण से विभाजित करती है। पूरक संबंध: sin(θ) = cos(90° − θ)। उदाहरण: sin(30°) = cos(60°) = 1/2। इकाई वृत्त पर ज्या y-निर्देशांक है और कोज्या x-निर्देशांक। संस्कृत आधारित विद्यालयी पाठ्यपुस्तकों में ज्या को "jya" तथा कोज्या को "koti-jya" भी कहा जाता है।
sin(θ) कब 1 के बराबर होता है?
ज्या केवल तब 1 होती है जब θ = 90° + 360°·n हो, जहाँ n कोई पूर्णांक है (अर्थात् 90°, 450°, −270°, ...)। रेडियन में: θ = π/2 + 2π·n। यह ज्या तरंग का अधिकतम है — इकाई वृत्त पर बिंदु ठीक ऊपर (0, 1) पहुँचता है। न्यूनतम −1 कोण 270° (3π/2) पर मिलता है। इन सीमाओं से बाहर ज्या कभी नहीं जा सकती।
डिग्री को रेडियन में कैसे बदलें?
डिग्री को π ÷ 180 से गुणा करें। इसलिए 30° = 30 × π/180 = π/6 ≈ 0.5236 रेडियन। वापस जाने के लिए: रेडियन × 180 ÷ π। कैलकुलस और भौतिकी में रेडियन मानक है क्योंकि sin तथा cos के अवकलज तभी सरल रहते हैं जब कोण रेडियन में हो। ज्यामिति और रोज़मर्रा के काम के लिए डिग्री अधिक सहज रहती है।
क्या sine का मान 1 से अधिक या −1 से कम हो सकता है?
नहीं। ज्यामितीय रूप से sin(θ) इकाई वृत्त पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक है, और यह निर्देशांक [−1, 1] अंतराल से बाहर नहीं जा सकता। इस परिसर के बाहर का कोई भी मान वास्तविक कोण के लिए असंभव है — इसी कारण arcsin(x) केवल −1 और 1 के बीच के x के लिए परिभाषित है।
sine का प्रयोग कक्षा के बाहर कहाँ होता है?
हर दोलनशील घटना में: प्रत्यावर्ती धारा (वोल्टेज V = V₀·sin(ωt)), ध्वनि तरंगें, प्रकाश तरंगें, स्प्रिंग, लोलक, ज्वार-भाटा, तथा ऑडियो और इमेज संपीड़न के पीछे फूरियर विश्लेषण। इंजीनियरिंग और सर्वेक्षण में ज्या किसी बल या दूरी को घटकों में विभक्त करती है और त्रिभुजन (triangulation) में उपयोग होती है। नेविगेशन और खगोल-शास्त्र में यह कोणीय और रैखिक निर्देशांकों के बीच रूपांतरण करती है।
ज्या (sine) कैलकुलेटर किसी भी कोण θ के लिए sin(θ) का मान निकालता है — चाहे आप कोण डिग्री में दर्ज करें या रेडियन में। दशमलव और ऋणात्मक मान दोनों स्वीकार्य हैं। उदाहरण: sin(30°) = 1/2 = 0.5, sin(45°) = √2/2 ≈ 0.7071, sin(60°) = √3/2 ≈ 0.8660, sin(90°) = 1। उपयोग सरल है: ऊपर पट्टी से इकाई चुनें (डिग्री / रेडियन), फिर कोण लिखें — परिणाम तुरंत दिखेगा, साथ में दूसरी इकाई में मान और संभव हो तो π भिन्न के रूप में सटीक मान भी। दूसरा उदाहरण: यदि आप कोण 120° दर्ज करते हैं तो परिणाम √3/2 ≈ 0.8660 आएगा, क्योंकि 120° का संदर्भ कोण 60° है और दूसरा चतुर्थांश ज्या को धनात्मक रखता है। नीचे विशेष कोण तालिका 0° से 360° तक के सभी मानक मान दिखाती है — CBSE/ICSE कक्षा 10 व 11 की त्रिकोणमिति की तैयारी के लिए उपयोगी। FAQ अनुभाग में डिग्री-रेडियन रूपांतरण, ज्या व कोज्या का अंतर तथा इकाई वृत्त (unit circle) पर sine की परिभाषा समझाई गई है।