किसी कोण के लिए tan(θ) — डिग्री या रेडियन इनपुट, सटीक मान, विशेष कोण तालिका।
सामान्य स्पर्शज्या मान
| कोण | रेडियन | सटीक tan | दशमलव |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/√3 = √3/3 | 0.57735027 |
| 45° | π/4 | 1 | 1.00000000 |
| 60° | π/3 | √3 | 1.73205081 |
| 90° | π/2 | — | अपरिभाषित |
| 120° | 2π/3 | −√3 | −1.73205081 |
| 135° | 3π/4 | −1 | −1.00000000 |
| 150° | 5π/6 | −1/√3 | −0.57735027 |
| 180° | π | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | 1/√3 | 0.57735027 |
| 225° | 5π/4 | 1 | 1.00000000 |
| 240° | 4π/3 | √3 | 1.73205081 |
| 270° | 3π/2 | — | अपरिभाषित |
| 300° | 5π/3 | −√3 | −1.73205081 |
| 315° | 7π/4 | −1 | −1.00000000 |
| 330° | 11π/6 | −1/√3 | −0.57735027 |
| 360° | 2π | 0 | 0 |
परिभाषा और ज्यामिति
किसी कोण की स्पर्शज्या (tangent) क्या है?
समकोण त्रिभुज में, किसी न्यून कोण θ की स्पर्शज्या उस कोण के सम्मुख भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात होती है: tan(θ) = सम्मुख / आसन्न। यदि किसी त्रिभुज में सम्मुख = 3 और आसन्न = 4 हो, तो tan(θ) = 3/4 = 0.75, जिसका अर्थ है θ ≈ 36.87°।
इकाई वृत्त (unit circle) पर, tan(θ) उस बिंदु के y-निर्देशांक को x-निर्देशांक से विभाजित करने पर प्राप्त होता है जहाँ कोण θ की अंतिम भुजा वृत्त को काटती है। समतुल्य रूप से, tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)।
जब भी cos(θ) = 0 हो — अर्थात 90°, 270°, 450° और प्रत्येक 90° + 180°·k प्रकार के कोण पर — स्पर्शज्या अपरिभाषित होती है। इन बिंदुओं पर tan के ग्राफ में ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) होती हैं।
आवर्तकाल, चिह्न और परास
स्पर्शज्या फलन के मुख्य गुण
आवर्तकाल: 180° (π रेडियन)। tan(θ + 180°) = tan(θ) — मान हर आधे चक्कर पर दोहराते हैं, sin और cos की तरह पूरे चक्कर पर नहीं।
चतुर्थांश के अनुसार चिह्न: Q1 (0°–90°) धनात्मक, Q2 (90°–180°) ऋणात्मक, Q3 (180°–270°) धनात्मक, Q4 (270°–360°) ऋणात्मक।
परास: सभी वास्तविक संख्याएँ। sin और cos के विपरीत, स्पर्शज्या अपरिमित है — कोण के 90° के निकट पहुँचने पर यह बिना सीमा के बढ़ती जाती है।
विषम फलन: tan(−θ) = −tan(θ). उदाहरण: tan(−45°) = −1।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
tan(0°), tan(30°), tan(45°), tan(60°), tan(90°) क्या होते हैं?
ये CBSE और ICSE कक्षा 10–11 की त्रिकोणमिति में सबसे अधिक उपयोग होने वाले मान हैं। tan(0°) = 0 (क्योंकि sin(0°) = 0)। tan(30°) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.57735027। tan(45°) = 1 बिल्कुल सटीक, क्योंकि 45-45-90 त्रिभुज में दोनों लम्ब समान होते हैं। tan(60°) = √3 ≈ 1.73205081। tan(90°) अपरिभाषित है क्योंकि cos(90°) = 0 और शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है।
स्पर्शज्या और साइन/कोसाइन में क्या अंतर है?
tangent — जिसे हिंदी गणित में स्पर्शज्या भी कहते हैं — sin और cos का अनुपात है: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)। साइन (ज्या) समकोण त्रिभुज में सम्मुख / कर्ण देता है, कोसाइन (कोज्या) आसन्न / कर्ण देता है, और स्पर्शज्या सम्मुख / आसन्न देती है। साइन और कोसाइन के मान हमेशा −1 और 1 के बीच होते हैं, जबकि स्पर्शज्या किसी भी वास्तविक मान को ले सकती है — −∞ से +∞ तक।
tangent कब अपरिभाषित (undefined) होता है?
tangent तब अपरिभाषित होता है जब cos(θ) = 0, अर्थात θ = 90°, 270°, 450°, … और सामान्य रूप से 90° + 180°·k प्रकार के सभी कोणों पर। चूँकि tan(θ) = sin(θ)/cos(θ), इन बिंदुओं पर हर शून्य हो जाता है और भागफल वास्तविक संख्याओं में परिभाषित नहीं रहता। ग्राफ पर इन कोणों पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी होती हैं — मान +∞ या −∞ की ओर बढ़ता है। यह कैलकुलेटर ऐसे इनपुट के लिए "अपरिभाषित" दिखाता है।
डिग्री और रेडियन के बीच रूपांतरण कैसे करें?
एक पूरा चक्कर 360° या 2π रेडियन के बराबर होता है, अतः 180° = π रेडियन। रूपांतरण: रेडियन = डिग्री × π / 180, और डिग्री = रेडियन × 180 / π। प्रमुख मान: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π। एक रेडियन ≈ 57.29578°। JavaScript, Python और C जैसी प्रोग्रामिंग भाषाओं में Math.tan फलन रेडियन में इनपुट लेता है, इसलिए डिग्री इनपुट को पहले परिवर्तित करना आवश्यक है।
कैलकुलेटर किसी कोण का tan वास्तव में कैसे निकालता है?
आधुनिक प्रोसेसर sin और cos के लिए CORDIC एल्गोरिथम या Taylor/Padé श्रेणी का उपयोग करते हैं और फिर भागफल निकालते हैं। श्रेणी tan(x) ≈ x + x³/3 + 2x⁵/15 + 17x⁷/315 + … छोटे कोणों के लिए अभिसारी होती है; बड़े कोणों को पहले π के सापेक्ष कम किया जाता है। अनंतस्पर्शी (90°, 270° आदि) के लगभग 10⁻¹⁰ रेडियन के भीतर के कोणों के लिए यह कैलकुलेटर "अपरिभाषित" लौटाता है, क्योंकि वास्तविक मान प्रभावी रूप से अनंत होता है।
वास्तविक जीवन में स्पर्शज्या का उपयोग कहाँ होता है?
स्पर्शज्या कोण को ढाल (slope) से जोड़ती है। यदि कोई सड़क 10 मीटर क्षैतिज दूरी में 1 मीटर ऊपर उठती है, तो उसका कोण arctan(1/10) ≈ 5.71° है। सर्वेक्षणकर्ता ऊँचाई मापने के लिए ऊँचाई-कोण की स्पर्शज्या का उपयोग करते हैं: 20 मीटर दूर का पेड़ क्षितिज से 35° पर दिखाई दे, तो उसकी ऊँचाई 20 × tan(35°) ≈ 14 मीटर होगी। इंजीनियर कैमरा फील्ड-ऑफ-व्यू, रैंप ग्रेड, छत की ढाल और प्रक्षेप्य पथ के लिए स्पर्शज्या का प्रयोग करते हैं।
tan और arctan में क्या अंतर है?
स्पर्शज्या (tan) कोण लेकर अनुपात देती है; प्रतिलोम स्पर्शज्या (arctan या tan⁻¹) अनुपात लेकर कोण देती है। उदाहरण: tan(45°) = 1, इसलिए arctan(1) = 45°। चूँकि tangent हर 180° पर दोहराता है, arctan को (−90°, 90°) के परास तक सीमित रखा जाता है ताकि यह एक उचित फलन बना रहे। अन्य चतुर्थांश में कोण ज्ञात करने के लिए आवश्यकतानुसार 180° जोड़ें, या दो-तर्कीय फलन atan2(y, x) का उपयोग करें जो x और y के चिह्न स्वयं संभाल लेता है।
यह स्पर्शज्या कैलकुलेटर किसी भी कोण θ के लिए tan(θ) का मान निकालता है — डिग्री या रेडियन में इनपुट दीजिए, परिणाम तुरंत मिलेगा। हिंदी गणित में स्पर्शज्या को tangent भी कहा जाता है और यह समकोण त्रिभुज में सम्मुख भुजा / आसन्न भुजा का अनुपात है, अर्थात tan(θ) = sin(θ) / cos(θ). उपयोग: कोण दर्ज करें या प्रीसेट (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°) चुनें, टैब से डिग्री↔रेडियन बदलें, परिणाम पर क्लिक करके दशमलव मान कॉपी करें। उदाहरण 1: tan(45°) = 1 बिल्कुल सटीक, क्योंकि 45-45-90 त्रिभुज में दोनों लम्ब समान होते हैं। उदाहरण 2: 35° पर 20 मीटर दूर का पेड़ कितना ऊँचा है? ऊँचाई = 20 × tan(35°) ≈ 14 मीटर। कैलकुलेटर 90° + 180°·k प्रकार के कोणों पर ‘अपरिभाषित’ दिखाता है क्योंकि वहाँ cos(θ) = 0 हो जाता है। CBSE और ICSE कक्षा 10–11 की त्रिकोणमिति के लिए उपयोगी विशेष कोण तालिका भी शामिल है।